derivadas
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- En matemáticas, la derivada de una función es una medida de la rapidez con la que cambia el valor de dicha función matemática, según cambie el valor de su variable independiente
Pasos para Derivar por Límites
Para empezar, comenzaremos con un ejercicio sencillo:
1. f(x)= x^2 + 4x − 5
1. Lo primero que hay que hacer es tener en cuenta la siguiente ecuación:
f'(x)= lim f(x+h)-f(x)
h-0 h
2. Seguido de esto hay que reemplazar la ecuación: la x se reemplaza por (x+h) y -f(x) se reemplaza por toda la función. Así
f'(x)= lim (x+h)^2 -x^2 + 4(x+h) - 4x
h-0 h h
El 5 no se coloca por que la derivada de cualquier número es siempre igual a 0.
3. Ahora, se operan la funciones; las funciones que están elevadas a cualquier número necesitan ser operadas por medio del triangulo de pascal; en este caso como (x+h) esta elevada a la 2 quedaría:
(x^2+2xh+h^2) porque:
1er término al cuadrado + 2 veces el 1er término por el 2do + el último término al cuadrado.
f'(x)= lim x^2+2xh+h^2-x^2 + 4x+4h - 4x
h-0 h h
4. Eliminamos términos semejantes.
f'(x)= lim 2xh+h^2 + 4h
h-0 h h
5. Una vez tengamos los términos finales es hora de hallar el factor común, el cual es la h (siempre es la h) para poder así cancelarla con la h del denominador.
f'(x)= lim h(2x+h^2) + h(4)
h-0 h h
5. Una vez se hayan eliminado las aches, ahora si podemos despejar el limite.
f'(x)=2x+0^2 + 4
6. Finalmente la función ha sido derivada, así que ya no es necesario colocar el limite (durante toda la derivación es necesario colocar el limite)
f'(x)= 2x+ 4
Ejercicio resuelto mediante la derivación de los 4 pasos. Empecemos con la primera ecuación que será lineal.
Ejemplo 1: Y = x3 + 2x2 – 3x – 1
Regla 1. Incrementar las 2 variables (Variables X y Y). Acá se les pone el Incremento Delta (∆) representado por un triangulo a cada variable.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Regla 2. Desarrollar operaciones algebraicas y restarle la función original.Algebraicamente se desarrolla la ecuación (ej. binomios, trinomios) y terminado se le restará la función original al resultado.
Y + ∆y = (x + ∆x)3 + 2(x + ∆x)2 – 3(x + ∆x) – 1
Y + ∆y = (x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3) + 2(x2 + 2x∆x + ∆x2) – 3x – 3∆x – 1
Y + ∆y = x3 + 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 2x2 + 4x∆x + 2∆x2 – 3x – 3∆x – 1
∆y = 3x2∆x + 3x∆x2 + ∆x3 + 4x∆x + 2∆x2 – 3∆x
Paso 3. Obtener la razón dividiendo la función incrementada por ∆x. Es decir, dividir cada elemento entre ∆x para así eliminar valores delta (∆x)
∆y/∆x = 3x2 + 3x∆x + ∆x2 + 4x + 2∆x – 3
Paso 4. Sustituir ∆x cuando tiende a 0 que es el límite de la función. Sustituiremos todos los ∆x por [0] en toda la ecuación y se multiplicara (Variable multiplicada por 0 da 0)
∆y/∆x = 3x2 + 3x[0] + [0]2 + 4x + 2[0] – 3
∆y/∆x = 3x2 + 4x – 3
Este es el resultado final de una derivación mediante la regla de los 4 pasos para derivar una ecuación.
*informacion tomada de internet.
*links para mayor informacion con el metodo de los 4 pasos.
https://www.youtube.com/watch?v=eU0kRZvqx54
https://www.youtube.com/watch?v=C7GrSjrkvZI
https://www.youtube.com/watch?v=8T0WN8pzTo8
https://www.youtube.com/watch?v=UF5T6cWrG8g
